【題目】如圖,已知二次函數(shù)yax2+bx+ca0)的圖象經(jīng)過A(﹣1,0),B4,0),C0,2)三點.

1)求該二次函數(shù)的解析式;

2)設(shè)點D是在x軸上方的二次函數(shù)圖象上的點,且△DAB的面積為5,求出所有滿足條件的點D的坐標(biāo);

3)能否在拋物線上找點P,使∠APB90°?若能,請直接寫出所有滿足條件的點P;若不能,請說明理由.

【答案】1;(2)點D的坐標(biāo)為(0,2)或(32);(3)能,滿足條件的點P的坐標(biāo)為(0,2)或(3,2).

【解析】

1)根據(jù)點AB、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;

2)設(shè)點D的縱坐標(biāo)為mm0),根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△DAB的面積為5,即可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之即可得出m的值,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點D的坐標(biāo);

3)假設(shè)成立,等點P與點C重合時,可利用勾股定理求出AP、BP的長度,由AP2+BP2=AB2可得出此時∠APB=90°,再利用二次函數(shù)圖象的對稱性即可找出點P的另一坐標(biāo),此題得解.

解:(1)∵二次函數(shù)yax2+bx+ca≠0)的圖象經(jīng)過A(﹣1,0)、B4,0)、C02)三點,

,解得:,

∴該二次函數(shù)的解析式為

2)設(shè)點D的縱坐標(biāo)為mm0),

,

m2

當(dāng)y2時,有,

解得:x10x23,

∴滿足條件的點D的坐標(biāo)為(0,2)或(32).

3)假設(shè)能,當(dāng)點P與點C重合時,

,

,即AP2+BP2AB2,

∴∠APB90°

∴假設(shè)成立,點P的坐標(biāo)為(0,2).

由對稱性可知:當(dāng)點P的坐標(biāo)為(3,2)時,∠APB90°

故滿足條件的點P的坐標(biāo)為(0,2)或(3,2).

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