Question

【題目】在一次課題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角平分線于點(diǎn)．請(qǐng)你探究與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論正確．經(jīng)過(guò)探究，小明得出的結(jié)論是，而要證明結(jié)論，就需要證明和所在的兩個(gè)三角形全等，但和顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，小明想到的方法是如圖2，取的中點(diǎn)，連接，證明．從而得到．請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖3，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，證明結(jié)論仍然成立；

（2）如圖4，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為：“點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)完成證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）正確，見解析；（2）正確，見解析

【解析】

（1）在AB上取點(diǎn)，連接，證明△PAE≌△CEF即可；

（2）延長(zhǎng)BA至，使=CE，連接，證明△ANE≌△ECF即可．

解：（1）正確．

證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME．

四邊形是正方形，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°，

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

（2）正確．

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N．

使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE，

∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠FCE=45°，

∴∠N=∠ECF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

∴∠NAE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF．