Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M是x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，A、M的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0）
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖，P是BC上的一個動點(diǎn)，Q為PC中點(diǎn)，直線BP、DQ交于點(diǎn)K，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時（不包括B、C兩點(diǎn)）BK的長度是否發(fā)生變化？若變化，請指出其變化范圍；若不變化，請求出其值．

Answer 1

分析：（1）連接CM，求出OM，CM，根據(jù)勾股定理求出OC即可；
（2）不發(fā)生變化，連接BD，BC，BQ，CQ，求出∠CQB=∠KQB，∠CBQ=∠KBQ，證△CQB≌△KQB，推出BK=BC，求出BC長即可．

解答：（1）解：連接OC，
∵A（-1，0），M（1，0），
∴OM=1，OA=2=OC，
∵∠MOC=90°，由勾股定理得：OC=

MC2-OM2

=

22-12

=

3

，
∴C的坐標(biāo)是（0，

3

）；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時（不包括B、C兩點(diǎn)）BK的長度不發(fā)生變化，總是2

3

，
理由是：連接BD，BC，BQ，CQ，
∵Q為弧PC中點(diǎn)，
∴弧CQ=弧PQ，
∴∠CBQ=∠KBQ，
∵CD⊥AM，AM過圓心M，
∴弧AC=弧AD，弧BC=弧BD，
∴弧BD+弧CD=弧BC+弧CD，
∴∠CQB=∠QBD+∠QDB，
∵∠KQB=∠QDB+∠QBD，
∴∠CQB=∠KQB，
在△CQB和△KQB中，

∠CQB=∠KQB BQ=BQ ∠CBQ=∠KBQ

∴△CQB≌△KQB（ASA），
∴BK=BC，
∵∠COB=90°，OC=

3

，BO=1+2=3，∴由勾股定理得：BC=

( 3 )2+32

=2

3

，
即不管P如何移動，BK的值不變，都等于2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難點(diǎn)是如何作輔助線．