Question

4．某公司購進(jìn)一種商品的成本為30元/kg，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來90
天的銷售單價(jià)p（元/kg）與時(shí)間t（天）之間的相關(guān)信息如下圖，銷售量y（kg）與時(shí)間t（天）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表．設(shè)第t天的銷售利潤(rùn)為w（元）                                                             

時(shí)間t（天）	10	30
每天的銷售量 y（kg）	180	140

（1）分別求出售單價(jià)p（元/kg）、銷售量y（kg）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問：銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；
（3）在實(shí)際銷售的前50天中，公司決定每銷售1kg該商品就捐贈(zèng)n元利潤(rùn)（n＜12）給“精準(zhǔn)扶貧”對(duì)象．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前50天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案；
（2）利用銷量×每千克利潤(rùn)=總利潤(rùn)，進(jìn)而求出答案；
（3）利用二次函數(shù)增減性結(jié)合對(duì)稱軸公式得出n的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)y=kt+b，把t=10，y=180；t=30，y=140代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=180}\\{30k+b=140}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+200．
當(dāng)0＜t＜50時(shí)，設(shè)p=kt+40，由圖象得B（50，90）
∴50k+40=90，
∴k=1，
∴p=t+40，
當(dāng)50≤t≤90時(shí)，p=90；

（2）由題意可得：w=（-2t+200）（t+40-30）
=-2t²+180t+2000
=-2（t-45）²+6050，
∴t=45時(shí)，w_最大值為6050元，
w=（-2t+120）（90-30）=-120t+12000，
∵-120＜0，
∴w隨x增大而減小，
∴t=50時(shí)，w_最大值=6000，
綜上所述第45天利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6050元；

（3）設(shè)前50天每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)為m元．
由題意m=-2t²+180t+2000-（-2t+200）n
=-2t²+（180+2n）t+2000-200n，
∵在前50天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{180+2n}{-4}$≥50，
∴n≥10．
又∵n＜12，
∴n的取值范圍為：10≤n＜12．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．