Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A，B兩點，與y軸交于點C，過點B作BM⊥x軸，垂足為點M，BM＝OM＝2，點A的縱坐標為4．

（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

（2）直線AB交x軸于點D，過點D作直線l⊥x軸，如果直線l上存在點P，坐標平面內(nèi)存在點Q．使四邊形OPAQ是矩形，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝ ，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)題意得出B點坐標，進而得出反比例函數(shù)解析式，再利用待定系數(shù)法得出一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P（-1，a），如圖1，當∠PAO=90°，如圖2，當∠APO=90°，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解：（1）∵BM＝OM＝2，

∴點B的坐標為（﹣2，﹣2），

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝ ，

則﹣2＝，

得k＝4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝ ，

∵點A的縱坐標是4，

∴4＝，

得x＝1，

∴點A的坐標為（1，4），

∵一次函數(shù)y＝mx+n（m≠0）的圖象過點A（1，4）、點B（﹣2，﹣2），

∴ ，

解得： ，

即一次函數(shù)的解析式為y＝2x+2；

（2）存在，

∵直線AB于x軸交于D，

∴D（﹣1，0），

∴OD＝1，

設(shè)P（﹣1，a），

如圖1，當∠PAO＝90°，

∵OP2＝PA2+OA2＝PD2+OD2，

∴（1+1）2+（4﹣a）2+12+42＝12+a2，

解得：a＝ ，

∴P（﹣1， ），

如圖2，當∠APO＝90°，

∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，

∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，

解得：a＝2± ，

∴P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣），

綜上所述，點P的坐標為（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

故答案為：（1）y＝ ，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．