Question

【題目】如圖，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線交線段AB于點(diǎn)C，過(guò)C作OC的垂線，與直線x=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長(zhǎng)為t，分析此圖后，對(duì)下列問題作出探究：

（1）當(dāng)△AOC和△BCP全等時(shí)，求出t的值。

（2）通過(guò)動(dòng)手測(cè)量線段OC和CP的長(zhǎng)來(lái)判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。

（3）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,b）,試寫出b關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和變量t的取值范圍。②求出當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】(1) t= ；(2)見解析；(3) P（1.1）, P（1，1－）

【解析】分析：

（1）由已知條件易得OA=OB=1，AB=，由△AOC和△BCP全等可得BC=OA=1，從而可得t=AC=AB-BC=；

（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交OA于點(diǎn)M，交PB于點(diǎn)N，由題意易得OM=BN=CN，∠OMC=∠CNP=90°，∠COM=∠PCN，由此可得△OMC≌△CNP，從而可得OC=PC；

（3）①由△OMC≌△CNP，可得PN=MC=AM，結(jié)合AM=sin45°AC=，由此可得BN=OM=1-AM=，從而可得PB=b=BN-PN=，即b=，由點(diǎn)C在第一象限可得t的取值范圍是：；②根據(jù)點(diǎn)C只能在第一象限，結(jié)合題意分PC=PB和PB=BC兩種情況討論計(jì)算即可.

詳解：

（1）∵OA=OB=1，∠AOB=90°，

∴AB=，

∵△AOC和△BCP全等，

∴BC=OA=1，

∴AC=AB-BC=，即；

（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線交OA于點(diǎn)M，交PB于點(diǎn)N，

∴∠CMO=∠OCP=∠CNB=90°，

∴四邊形OBNM是矩形，∠MOC+∠MCO=90°，∠MCO+∠NCP=90°，

∴BN=OM，∠MOC=∠NCP，

∵OA=OB=1,

∴∠BAO=∠ABO=∠ABN=45°，

∴△BCN是等腰直角三角形，

∴OM=BN=CN，

∴△MOC≌△NCP，

∴OC=PC；

（3）① ∵OA=OB=1,∠AOB=90°，

∴∠BAO=∠ABO=45°，

又∵∠AMC=90°，

∴AM=MC=AC·sin45°=，

∴OM=OA-AM=，

∵由（2）可知：BN=OM，

∴NB=,

∵△AOC和△BCP全等，

∴PN=CM=AM=，

∴PB=BN-PN=，即b=，

∵點(diǎn)C在第一象限，

∴；

②當(dāng)t=0時(shí)，△PBC是等腰直角三角形，當(dāng)此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，不在第一象限，不符合題中要求，故此種情況不成立；

當(dāng)PB=BC時(shí)，由（2）可知，解得t=1或t=-1（舍去），

∴當(dāng)t=1時(shí)，△PBC是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

綜上所述，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.