Question

【題目】我們定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱之為“和諧三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為105°，40°，35°的三角形是“和諧三角形”

概念理解：如圖1，∠MON=60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）

（1）∠ABO的度數(shù)為______，△AOB______（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；

（2）若∠ACB=80°，求證：△AOC是“和諧三角形”．

應(yīng)用拓展：（3）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和諧三角形”，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）30，是；（2）證明見解析；（3）∠B=36°或∠B=

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)“和諧三角形”的概念判斷；

（2）根據(jù)“和諧三角形”的概念證明即可；應(yīng)用拓展：根據(jù)比較的性質(zhì)得到∠EFC=∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根據(jù)“和諧三角形”的定義求解即可．

解：（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∴∠ABO=90°-∠MON=30°，

∵∠OAB=3∠ABO，

∴△AOB為“和諧三角形”，

故答案為：30；是；

（2）證明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，

∵∠ACB=∠OAC+∠MON，

∴∠OAC=80°-60°=20°，

∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，

∴△AOC是“和諧三角形”；

應(yīng)用拓展：

∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，

∴∠EFC=∠ADC，

∴AD∥EF，

∴∠DEF=∠ADE，

∵∠DEF=∠B，

∴∠B=∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠CDE=∠BCD，

∵AE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠B=∠BCD，

∵△BCD是“和諧三角形”，

∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，

∴∠B=36°或∠B=．