【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D,E分別是邊AB,AC的中點,點P從點D出發(fā)沿DE方向運動,過點P作PQ⊥BC于Q,過點Q作QR∥BA交AC于R,當點Q與點C重合時,點P停止運動.設BQ=x,QR=y.

(1)求點D到BC的距離DH的長;

(2)求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

(3)是否存在點P,使△PQR為等腰三角形?若存在,請求出所有滿足要求的x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)y=-x+6(3)存在,或6或

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC,根據(jù)相似三角形的性質求出DH的長;

(2)根據(jù)△RQC∽△ABC,根據(jù)三角形的相似比求出y關于x的函數(shù)關系式;

(3)畫出圖形,根據(jù)圖形進行討論:

①當PQ=PR時,過點P作PM⊥QR于M,則QM=RM.由于∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.

∴cos∠1=cosC=,∴,即可求出x的值;

②當PQ=RQ時,﹣x+6=,x=6;

③當PR=QR時,則R為PQ中垂線上的點,于是點R為EC的中點,故CR=CE=AC=2.由于tanC=,x=

試題解析:(1)在Rt△ABC中,

∵∠A=90°,AB=6,AC=8,

∴BC==10.

∵∠DHB=∠A=90°,∠B=∠B.

∴△BHD∽△BAC,

,

∴DH=AC=×8=

(2)∵QR∥AB,

∴∠QRC=∠A=90°.

∵∠C=∠C,

∴△RQC∽△ABC,

,∴,

即y關于x的函數(shù)關系式為:y=-x+6.

(3)存在,分三種情況:

①當PQ=PR時,過點P作PM⊥QR于M,則QM=RM.

∵∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,

∴∠1=∠C.

∴cos∠1=cosC=

,

∴x=

②當PQ=RQ時,﹣x+6=,

∴x=6.

③作EM⊥BC,RN⊥EM,

∴EM∥PQ,

當PR=QR時,則R為PQ中垂線上的點,

∴EN=MN,

∴ER=RC,

∴點R為EC的中點,

∴CR=CE=AC=2.

∵tanC=,

,

∴x=

綜上所述,當x為或6或時,△PQR為等腰三角形.

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