Question

（2013•燕山區(qū)一模）己知二次函數(shù)y1=x2-2tx+(2t-1)（t＞1）的圖象為拋物線C₁．
（1）求證：無(wú)論t取何值，拋物線C₁與y軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）已知拋物線C₁與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），將拋物線C₁作適當(dāng)?shù)钠揭�，得拋物線C₂：y2=(x-t)2，平移后A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線C₂位于直線DE下方的部分沿直線DE向上翻折后，連同C₂在DE上方的部分組成一個(gè)新圖形，記為圖形G，若直線y=-

1

2

x+b（b＜3）與圖形G有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出b²-4ac的值，根據(jù)根的判別式為正數(shù)即可得到答案；
（2）首先用含有t的字母表示出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)得到DE=AB=2，從而求得t值，配方后利用平移規(guī)律得到平移個(gè)數(shù)即可；
（3）分三種情況討論后即可求得變量t的取值范圍．

解答：解：（1）令y₁=0，得△=（-2t）²-4（2t-1）=4t²-8t+4=4（t-1）²，
∵t＞1，∴△=4（t-1）²＞0，
∴無(wú)論t取何值，方程x²-2tx+（2t-1）=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴無(wú)論t取何值，拋物線C₁與y軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．       

（2）解方程x²-2tx+（2t-1）=0得，x₁=1，x₂=2t-1，
∵t＞1，∴2t-1＞1．得A（1，0），B（2t-1，0），
∵D（m，n），E（m+2，n），∴DE=AB=2，
即2t-1-1=2，解得t=2．                       
∴二次函數(shù)為y1=x2-4x+3=(x-2)2-1，
顯然將拋物線C₁向上平移1個(gè)單位可得拋物線C₂：y2=(x-2)2，
故n=1．                                        

 （3）由（2）得拋物線C₂：y2=(x-2)2，D（1，1），E（3，1），
翻折后，頂點(diǎn)F（2，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F'（2，2），
如圖，當(dāng)直線y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，1）時(shí)，記為l₃，
此時(shí)b=

3

2

，圖形G與l₃只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線y=-

1

2

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（3，1）時(shí)，記為l₂，此時(shí)b=

5

2

，圖形G與l₂有三個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)b＜3時(shí)，由圖象可知，只有當(dāng)直線l：y=-

1

2

x+b位于l₂與l₃之間時(shí)，圖形G與直線l有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴符合題意的b的取值范圍是

3

2

＜b＜

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．