Question

【題目】如圖，已知P點(diǎn)是∠AOB平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D．

（1）求證：∠PCD＝∠PDC；

（2）求證：OP是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn).

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PC=PD，即可證明∠PCD＝∠PDC；（2）先證明△OCP≌△ODP，由此可得OC＝OD，進(jìn)而證明點(diǎn)O在CD的垂直平分線(xiàn)上，由（1）PC=PD可得點(diǎn)P也在CD的垂直平分線(xiàn)上，所以OP是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn).

試題解析：

（1）∵OP是∠AOB的角平分線(xiàn)，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC；

（2）∵OP是∠AOB的角平分線(xiàn)，

∴∠COP＝∠DOP，

∵PC⊥OA，PD⊥OB，

∴∠OCP＝∠ODP＝90°，

在△OCP和△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP（AAS），

∴OC＝OD，

∴點(diǎn)O在CD的垂直平分線(xiàn)上，

∵PC＝PD，

∴點(diǎn)P在CD的垂直平分線(xiàn)上，

∴OP是CD的垂直平分線(xiàn).