Question

【題目】已知：如圖，直線(xiàn)y=kx+2與x軸正半軸相交于A（t，0），與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在第三象象限內(nèi)，且AC⊥AB，tan∠ACB=．

（1）當(dāng)t=1時(shí)，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)C在這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣x+2；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t﹣4，﹣2t）；

（3）t=4﹣．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式，解方程組即可；

（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，根據(jù)△AOB∽△CHA，得到，根據(jù)tan∠ACB==，得到=，根據(jù)OA=t，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-4，-2t）．

（3）根據(jù)點(diǎn)C（t-4，-2t）在拋物線(xiàn)y=-x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸上，得到t-4=，即b=2t-8，把點(diǎn)A（t，0）、B（0，2）代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式，得-t2+bt+2=0，可知t2+（2t-8）t+2=0，即t2-8t+2=0，據(jù)此即可求出t的值．

試題解析：

（1）∵t=1，y=kx+2，

∴A（1，0），B（0，2），

把點(diǎn)A（1，0），B（0，2）分別代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式，得 ，

解得 ，

∴所求拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣x+2．

（2）如圖：作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，得∠AHC=∠AOB=90°，

∵AC⊥AB，

∴∠OAB+∠CAH=90°，

又∵∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠OAB=∠ACH，

∴△AOB∽△CHA，

∴，

∵tan∠ACB==，

∴=，

∵OA=t，OB=2，

∴CH=2t，AH=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t﹣4，﹣2t）．

（3）∵點(diǎn)C（t﹣4，﹣2t）在拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴t﹣4=，即b=2t﹣8，

把點(diǎn)A（t，0）、B（0，2）代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式，得﹣t2+bt+2=0，

∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，

解得t=4+，

∵點(diǎn)C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，

∴t=4+不符合題意，舍去，

∴t=4﹣．