Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸為直線。點(diǎn)G是拋物線位于直線下方的任意一點(diǎn)，連接PB、GB、GC、AC .

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△GBC面積的最大值；

（3）連接AC，在軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）; （2）當(dāng)時(shí)，面積的取最大值; （3）在x軸上存在兩點(diǎn)Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，已知對(duì)稱軸的解析式以及B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出A的坐標(biāo)，利用拋物線過A、B、C三點(diǎn)，可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式；

（2）過作∥軸交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)，列出關(guān)于△GBC面積的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）本題要先根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而分三情況進(jìn)行討論：①當(dāng)，∠PBQ=∠ABC=45°時(shí)；②當(dāng)，∠QBP=∠ABC=45°時(shí)；③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，即可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況是不成立的，綜上所述即可得出符合條件的Q的坐標(biāo)．

（1）∵直線y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3.

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

又∵拋物線過x軸上的A，B兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為x＝2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．

又∵拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，3），

， 解得：，

∴該拋物線的解析式為：；

（2）如圖，過作∥軸交于點(diǎn).

設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)，

∴，

∴，

∵，

∴ 當(dāng)時(shí)，面積的取最大值.

（3）如圖，

由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得頂點(diǎn)P（2，﹣1），

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，

∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1，

∴∠PBM＝45°，PB＝．

由點(diǎn)B（3，0），C（0，3）易得OB＝OC＝3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45°，

由勾股定理，得BC＝．

假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

①當(dāng)，∠PBQ＝∠ABC＝45°時(shí)，△PBQ∽△ABC．

即，

解得：BQ＝3，

又∵BO＝3，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，

∴Q1的坐標(biāo)是（0，0）．

②當(dāng)，∠QBP＝∠ABC＝45°時(shí)，△QBP∽△ABC．

即，

解得：QB＝．

∵OB＝3，

∴OQ＝OB﹣QB＝3﹣，

∴Q2的坐標(biāo)是（，0）．

③當(dāng)Q在B點(diǎn)右側(cè)，

則∠PBQ＝＝135°，∠BAC＜135°，

故∠PBQ≠∠BAC．

則點(diǎn)Q不可能在B點(diǎn)右側(cè)的x軸上，

綜上所述，在x軸上存在兩點(diǎn)Q1（0，0），Q2（，0），能使得以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．