如圖,a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的兩個根.點D在AB上,以BD為直徑的⊙O切AC于點E.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)若tanA=,求AE的長.

【答案】分析:(1)由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的兩個根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得a+b=c+4,ab=4(c+2),繼而可得a2+b2=c2,則可判定△ABC是直角三角形.
(2)連接OE,由tanA=與a+b=c+4,可求得a,b,c的值,又由平行線分線段成比例定理,可求得半徑的長,繼而求得答案.
解答:解:(1)△ABC是直角三角形.
理由:∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的兩個根.
∴a+b=c+4,ab=4(c+2),(1分)
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=(c+4)2-8(c+2)
=c2
∴△ABC是直角三角形.(2分)

(2)∵∠C=90°,
∴tanA==,
設(shè)a=3k,則b=4k,從而c=5k(k>0).
∵a+b=c+4,
∴3k+4k=5k+4,
解得:k=2.
∴a=6,b=8,c=10.(5分)
連接OE.(6分)
∵AE是切線,
∴OE⊥AE.
又∵BC⊥AC,
∴OE∥BC.(7分)
∴△AOE∽△ABC,

,
解得:OE=,
在Rt△AOE中,AE===5.
點評:此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)等知識.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別為邊BC、CD的中點,AF、DE相交于點G,則可得結(jié)論:①AF=DE,②AF⊥DE(不須證明).
(1)如圖②,若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點,但滿足CE=DF,則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立;(請直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如圖③,若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時上面的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.
(3)如圖④,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點,請先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種,并寫出證明過程.
精英家教網(wǎng)

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精英家教網(wǎng)某花木場有一塊形如等腰梯形ABCD的空地(如圖),各邊中點分別為E、F、G、H,測得對角線AC=5m,若用籬笆圍成四邊形EFGH的場地,則需籬笆總長度為
 
m.

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18、如圖中所有的線段可分別表示為
線段AB,BC,AC

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,經(jīng)過原點O的⊙C分別與x軸、y軸交于點A、B,P為
OBA
上一點.若∠OPA=60°,OA=4
3
,則OB的長為
4
4

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如圖,在?ABCD中,分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF,延長CB交AE于點G,點G在點A,
E之間,連接CE、CF、EF,有下列四個結(jié)論:
①△CDF≌△EBC;     ②∠CDF=∠EAF;
③△ECF是等邊三角形;  ④CG⊥AE,
請把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號填在橫線上
①②③
①②③

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