Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．
小題1:求證：MN是半圓的切線；
小題2:求證：FD=FG；
小題3:若△DFG的面積為4.5，且DG=3，GC=4，試求△BCG的面積．

Answer 1

小題1:略
小題2:略
小題3:16

1、∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠MAC+∠CAB=90°
∵AB是半圓直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵∠ABC=∠MAC,(已知），
∴∠MAC+∠CAB=90°，
∴MN是半圓的切線。
2、∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴BD是∠CBA的平分線，
∠CBD=∠DBA,
∠CGB=90°-∠CBA,
∵∠DGF=∠CGB(對(duì)頂角相等），
∴∠DGF=90°-∠CBD，
∵DE⊥AB，
∴∠GDF=90°-∠DBE，
∴∠EDG=∠DGF,
∴△FDG是等腰△，
∴FD=FG。
3、作FP⊥DG，
S△FDG=9/2，
DG=3，
S△FDG=DG*FP/2，
FP=3，
∵∠PGF=∠CGB（對(duì)頂角相等），
∠BCG=∠GPE=90°
∴△BGC∽△FGP，
FP/BC=PG/CG，PG=DG/2=3/2，
3/BC=（3/2）/4，
BC=8，
∴S△BGC=BC*CG/2=8*4/2=16