Question

9．如圖1，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E₁，F(xiàn)在CB上，且滿足∠FOB=∠FBO，OE₁平分∠COF．
（1）求∠E₁OB的度數(shù)；
（2）若向右平行移動(dòng)AB，其它條件不變，那么∠OBC：∠OFC的值是否發(fā)生變化？若變化，找出其中規(guī)律，若不變，求出這個(gè)比值；
（3）如圖2，若OE₂平分∠COE₁交CB于E₂，OE₃平分∠COE₂交CB于E₃，…，以此類推直到OE_n平分∠COE_n-1．若∠BOA=x，當(dāng)n=4時(shí)，求∠OE₄C．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)CB∥OA得出∠AOC+∠C=180°，故可得出∠COA的度數(shù)，再由角平分線的定義得出∠1=∠2，∠3=∠4．根據(jù)∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°可得出∠EOB的度數(shù)；
（2）根據(jù)BC∥OA可知∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4，再由∠3=∠4，可得出∠6=∠3，∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC，故可得出結(jié)論；
（3）先求出∠COE₁，探究規(guī)律后即可求解．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC+∠C=180°，∠6=∠4．
∵∠C=120°，
∴∠COA=60°．  
∵OE₁平分∠COF （已知），
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠6，∠6=∠4，
∴∠3=∠4．
∵∠COA=∠1+∠2+∠3+∠4=60°，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠COA=30°，即∠E₁OB=30°；
     
（2）∠OBC：∠OFC=1：2．
∵BC∥OA，
∴∠5=∠FOA=∠3+∠4，∠6=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
又∵∠3=∠4，
∴∠6=∠3，
∴∠5-2∠6，即∠OFC=2∠OBC．
∴若向右平行移動(dòng)AB，其它條件不變，那么∠OBC：∠OFC的值不發(fā)生變化；

（3）∵∠COE₁=30°-x，OE₂平分∠COE₁，
∴∠COE₂=$\frac{1}{2}$（30°-x），
∵OE₃平分∠COE₂，
∴∠COE₃=$\frac{1}{4}$（30°-x），
∵OE₄平分∠COE₃，
∴∠COE₄=$\frac{1}{8}$（30°-x）．
∴∠OE₄C=180°-120°-$\frac{1}{8}$（30°-x）=（$\frac{225}{4}$）°+$\frac{1}{8}$x

點(diǎn)評 本題主要考查了平行線、角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中．