Question

【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為，過點作交于，連接．

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當點在邊上移動時，折痕的端點也隨之移動；

①當點與點重合時（如圖2），求菱形的邊長；

②若限定分別在邊上移動，求出點在邊上移動的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②

【解析】

（1）根據(jù)軸對稱的性質得到，，，再由平行線的性質得到，從而得到，由“等角對等邊”得到EP=EF，進而得出即可；
（2）①先由折疊得：EC＝BC＝10，利用勾股定理得：ED＝8，設PE＝x，則PB＝x，AP＝6x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6x）2＋22＝x2，解出即可；
②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE＝2cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，AE＝AB＝6cm，即可得出答案；

解：（1）證明：折疊紙片使點落在邊上的處，折痕為，

點與點關于對稱，

，，，

又，

，

，

，

，

四邊形為菱形；

（2）解：①四邊形是矩形，

，，，

點與點關于對稱，點C與點Q重合，

，

在中，，

；

在中，，，

，

解得：，

菱形的邊長為；

②當點與點重合時，如圖2；

點離點最近，由①知，此時；

當點與點重合時，如圖3所示：

點離點最遠，此時四邊形為正方形，，

點在邊上移動的最大距離為6-2=.