【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，且滿足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 問當(dāng)AE長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形EFGH的面積最小?并求出這個(gè)最小值.

【答案】當(dāng)AE長(zhǎng)為2.5時(shí)，四邊形EFGH的面積的最小值為37.5

【解析】

設(shè)AE=x，則BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，根據(jù)S四邊形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH列式后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得.

設(shè)AE=x，則BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，

∴S四邊形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH

=102－x(10－4x)－ ·2x(10－x)－ ·3x(10－2x)－ ·4x(10－3x)

=10x2－50x+100，

∵=2.5，=37.5，

∴當(dāng)AE長(zhǎng)為2.5時(shí)，四邊形EFGH的面積的最小值為37.5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，l1⊥l2，l1.l2分別交x軸和y軸于A點(diǎn)和B點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積為_______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于F，連結(jié)FD，若∠BFA=90°，則下列四對(duì)三角形：①△BEA與△ACD②△FED與△DEB③△CFD與△ABG④△ADF與△CFB中相似的為（ ）

A. ①④B. ①②C. ②③④D. ①②③

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在ABCD中，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG與BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有幾對(duì)？分別寫出來．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，∠ABD、∠ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A = 50°,∠D =10°，則∠P的度數(shù)為( )

A.15°B.20°C.25°D.30°

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB=10,AC=4,則AD的取值范圍是_____.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在任意四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，E、F、G、H分別是線段BD、BC、AC、AD上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形EFGH的形狀，某班的學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，通過動(dòng)手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（ ）

A. 當(dāng)E，F，G，H是各條線段的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形

B. 當(dāng)E，F，G，H是各條線段的中點(diǎn)，且AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH為矩形

C. 當(dāng)E，F，G，H是各條線段的中點(diǎn)，且AB=CD時(shí)，四邊形EFGH為菱形

D. 當(dāng)E，F，G，H不是各條線段的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH可以為平行四邊形

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（問題情境）

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是　 　．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是　 　．

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．

（初步運(yùn)用）

如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長(zhǎng)．

（靈活運(yùn)用）

如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年5月以來昆明高溫天氣創(chuàng)歷史新高，市民戲稱昆明“春城”變“夏城”，百姓對(duì)電風(fēng)扇的需求量比往年明顯增加．某超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為元、元的兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況：

銷售時(shí)段

銷售數(shù)量

銷售收入

種型號(hào)

種型號(hào)

第一周

臺(tái)

臺(tái)

元

第二周

臺(tái)

臺(tái)

元

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本）

（1）求兩種型號(hào)的電風(fēng)扇每臺(tái)售價(jià)各是多少元？

（2）若超市準(zhǔn)備用不多于元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共臺(tái)，求種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？

（3）在（2）的條件下，超市銷售完這臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)超過元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說明理由．

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