Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在邊BC上，連接BE、DF，DF交對角線AC于點G，且DE=DG．
（1）求證：AE=CG；
（2）試判斷BE和DF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，

∵AD=CD，

∴∠DAE=∠DCG，

∵DE=DG，

∴∠DEG=∠DGE，

∴∠AED=∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∴△AED≌△CGD（AAS），

∴AE=CG

（2）解：解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCG．

在△AEB和△CGD中，

∴△AEB≌△CGD（SAS），

∴∠AEB=∠CGD．

∵∠CGD=∠EGF，

∴∠AEB=∠EGF，

∴BE∥DF．

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴ = ．

∵CG=AE，

∴AG=CE．

又∵在正方形ABCD中，AD=CB，

∴ = ．

又∵∠GCF=∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF=∠CEB，

∴BE∥DF

【解析】（1）先證∠AED=∠CGD，再證明△ADE≌△CDG，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；（2）先證明△AEB≌△CGD，得出對應(yīng)角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可證出平行線．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．