Question

已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足

2a2

1+a2

=b，

2b2

1+b2

=c，

2c2

1+c2

=a，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：先利用倒數(shù)法將條件變形

1

b

=

1

2

(1+

1

a2

)，

1

c

=

1

2

(1+

1

b2

)，

1

a

=

1

2

(1+

1

c2

)，可以整理得：1+

1

a2

-

2

b

=0，1+

1

b2

-

2

c

=0，1+

1

c2

-

2

a

=0，從而可以得到：1+

1

a2

-

2

b

+1+

1

b2

-

2

c

+1+

1

c2

-

2

a

=0，最后整理出這個式子：

(1- 1 a )2+(1- 1 b )2+(1- 1 c )2=0

，根據(jù)非負數(shù)和為0定理的運用可以求出a、b、c的值得出三角形的面積．

解答：解：∵

1+a2

2a2

=

1

b

=

1

2a2

+

1

2

，
∴

1

b

=

1

2

(1+

1

a2

)，

1

c

=

1

2

(1+

1

b2

)，

1

a

=

1

2

(1+

1

c2

)，
∴

2

b

=(1+

1

a2

)，

2

c

=(1+

1

b2

)，

2

a

=(1+

1

c2

)，
∴1+

1

a2

-

2

b

=0，1+

1

b2

-

2

c

=0，1+

1

c2

-

2

a

=0，
∴1+

1

a2

-

2

b

+1+

1

b2

-

2

c

+1+

1

c2

-

2

a

=0，
∴

(1- 1 a )2+(1- 1 b )2+(1- 1 c )2=0

，
∴

1- 1 a =0 1- 1 b =0 1- 1 c =0

，
解得：a=b=c=1
∴S_△ABC=

1

2

absin60°=

3

4

．
故答案為：

3

4

點評：本題考查了代數(shù)式的變形和倒數(shù)法的運用，根據(jù)分式的混合運算求三角形的面積，難度較大，要充分利用已知條件．