Question

已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），交軸于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，連接MB．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在軸上是否存在點(diǎn)P滿足△PBM是直角三角形，若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0），將該拋物線繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為，求的度數(shù)．

Answer 1

（1） （2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），（0，3），，
（3）＝135°

試題分析：（1）∵因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），B（3，0）
∴
解得
∴
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，過點(diǎn)M作ME ⊥x軸，MF ⊥y軸,
易證R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：
解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，
∴ 解得： ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM
∴，解得： ，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為
綜上：△PBM是直角三角形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），（0，3），，
（3）
由題意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，點(diǎn)M，M′關(guān)于點(diǎn)Q中心對稱，
∴M′ (15，－4)，
連結(jié)M′B，并延長M′B交y軸于點(diǎn)D，
由，可得D（0，1）
連結(jié)MD，易證R t △DFM≌R t △DOB
∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°
∴＝135°
解法二：
過點(diǎn)M′作MB的垂線交MB的延長線于點(diǎn)D，
由△MBM′面積計(jì)算，轉(zhuǎn)化為已知△面積和底邊MB求高D M′，解得
再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，
∴    
∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°
∴＝135°
點(diǎn)評：該題較為復(fù)雜，是�？碱}，主要考查學(xué)生對求二次函數(shù)解析式以及對圖形中點(diǎn)與線段在直角坐標(biāo)系中表示的方法的應(yīng)用。