Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=6，點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PD⊥AB，交直線BC于點(diǎn)D，作PE⊥AC，垂足為點(diǎn)F．

（1）求∠APE的度數(shù)；
（2）連接DE，當(dāng)△PDE為等邊三角形時(shí)，求BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=90°，

∴∠APE=180°﹣∠A﹣∠AEP=180°﹣60°﹣90°=30°

（2）解：設(shè)BP=x，則AP=6﹣x，

在Rt△BPD中，PD=BPtan60°= x，在Rt△APE中，PE=APsin60°= ，

∵△PDE為等邊三角形，

∴PD=PE，

即 = （6﹣x），

解得：x=2，

∴當(dāng)△PDE為等邊三角形時(shí)，BP的長為2

【解析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B=∠C=60°，在利用垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；（2）設(shè)BP=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)，易得PD= x，在Rt△APE中，PE=APsin60°= ，利用等邊三角形的性質(zhì)可得PE=PD，建立等量關(guān)系，解得x．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能正確解答此題．