Question

一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31 km．現(xiàn)要求在一邊長(zhǎng)為30 km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市．問：

(1)能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？

(2)至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？

答題要求：請(qǐng)?jiān)诮獯饡r(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由．(圖給出了幾個(gè)邊長(zhǎng)為30 km的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用)

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題的關(guān)鍵是以發(fā)射點(diǎn)為中心的幾個(gè)圓的面積能夠覆蓋正方形，設(shè)計(jì)方法較多． 　　解：(1)將題圖中的正方形等分成如下圖的4個(gè)小正方形，將這4個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個(gè)小正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)處，此時(shí)，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為×30＝15(km)＜31 km，每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個(gè)小正方形區(qū)域，故安裝4個(gè)這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求．(圖案設(shè)計(jì)不唯一) 　　(2)方法一：將原正方形分割成如圖中的3個(gè)矩形，使得BE＝DO＝CO，將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線交點(diǎn)處 　　設(shè)AE＝x km，則ED＝(30－x)km，DH＝15 km． 　　由BE＝DO，得x2＋302＝152＋(30－x)2 　　解得x＝(km) 　　所以BE＝≈30.2(km)＜31 km， 　　即如此安裝3個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求． 　　方法二：將原正方形分割成如圖中的3個(gè)矩形，使得BE＝31 km，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)處，則AE＝＝(km)，DE＝(30－)km，DO＝≈26.8(km)＜31 km，即如此安裝三個(gè)這個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，能達(dá)到預(yù)設(shè)要求． 　　方法三：要用兩個(gè)圓覆蓋一個(gè)正方形，則一個(gè)圓至少要經(jīng)過正方形相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)．如圖，用一個(gè)直徑為31 km的⊙O去覆蓋邊長(zhǎng)為30km的正方形ABCD，設(shè)⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、B且與AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BE，則AE＝＝(km)＜15 km＝AD，這說明用兩個(gè)直徑都為31 km的圓不能完全覆蓋正方形ABCD． 　　所以，至少要安裝3個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，才能達(dá)到預(yù)設(shè)要求．