Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．
（1）證明：四邊形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠1=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，

∴AF= AD，EC= BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠1=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE= =4 ，

所以，S菱形ABCD=8×4 =32 ．

【解析】（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等以及中點(diǎn)的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可得證；（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計(jì)算即可得解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長的積的一半才能正確解答此題．