(2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=2OA=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個動點(diǎn),以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當(dāng)⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,動點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
2
個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,過點(diǎn)E作EG∥y軸,交AC于點(diǎn)G(如圖2).若E、F兩點(diǎn)同時出發(fā),運(yùn)動時間為t.則當(dāng)t為何值時,△EFG的面積是△ABC的面積的
1
3
?
分析:(1)根據(jù)OA、OB的長度求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;
(2)根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸為x=1,并根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)P到直線x=1與x軸的距離相等列出方程,再解絕對值方程即可得解;
(3)根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后求出△ABC的面積,并利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式,判斷出△BOC是等腰直角三角形,然后用t表示出點(diǎn)E的坐標(biāo),從而求出EG的長度,過F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,用t表示出BM的長度,然后用t表示出EM的長度,即△EFG邊EG上的高,再根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可.
解答:解:(1)∵OB=2OA=4,
∴OA=2,
∴點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),
把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線y=
1
2
x2+bx+c得,
1
2
×4-2b+c=0
1
2
×16+4b+c=0
,
解得
b=-1
c=-4
,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=
1
2
x2-x-4;

(2)拋物線對稱軸為x=-
b
2a
=-
-1
1
2
=1,
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,
1
2
x2-x-4),
∵⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切,
∴|x-1|=|
1
2
x2-x-4|,
即x-1=
1
2
x2-x-4①或x-1=-(
1
2
x2-x-4)②,
解方程①,整理得,x2-4x-6=0,
解得x1=2+
10
,x2=2-
10
,
當(dāng)x1=2+
10
時,y1=2+
10
-1=1+
10
,
當(dāng)x2=2-
10
時,y2=2-
10
-1=1-
10
,
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+
10
,1+
10
)或(2-
10
,1-
10
),
解方程②,整理得,x2-10=0,
解得x3=
10
,x4=-
10
,
當(dāng)x3=
10
時,y3=1-
10
,
當(dāng)x4=-
10
時,y4=1+
10
,
此時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
10
,1-
10
)或(-
10
,1+
10
),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+
10
,1+
10
)或(2-
10
,1-
10
)或(
10
,1-
10
)或(-
10
,1+
10
);

(3)拋物線解析式當(dāng)x=0時,y=-4,
所以,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4),
又∵AB=OA+OB=2+4=6,
∴S△ABC=
1
2
×6×4=12,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,則
-2k+b=0
b=-4
,
解得
k=-2
b=-4
,
所以,直線AC的解析式為y=-2x-4,
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,
∴AE=t,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2+t,0),
∴EG=-2(-2+t)-4=-2t,
∵B(4,0),C(0,-4),
∴△BOC是等腰直角三角形,
如圖,過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,
∵點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
2
個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,
∴BF=
2
t,
∴BM=
2
2
×
2
t=t,
∴ME=AB-AE-BM=6-t-t=6-2t,
即點(diǎn)F到EG的距離為(6-2t),
∴S△EFG=
1
2
×|-2t|×(6-2t)=-2t2+6t,
又△EFG的面積是△ABC的面積的
1
3

∴-2t2+6t=
1
3
×12,
整理得,t2-3t+2=0,
解得t1=1,t2=2,
∴當(dāng)t為1秒或2秒時,△EFG的面積是△ABC的面積的
1
3
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式(二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式),直線與圓相切,圓心到直線的距離等于圓的半徑,解一元二次方程,以及三角形的面積,本題思路比較復(fù)雜,運(yùn)算量較大,要注意分情況討論求解,計算時要認(rèn)真仔細(xì).
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(2013,1)
(2013,1)

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