11.如圖,AB為⊙O的直徑,PD切⊙O于點(diǎn)C,與BA的延長線交于點(diǎn)D,DE⊥PO交PO延長線于點(diǎn)E,連接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若PB=6,DB=8,求DC的長度;
(3)在(2)中的條件下,求⊙O的半徑.

分析 (1)由DE與PE垂直,得到∠E為直角,再由已知角相等及對頂角相等,得到∠PBD=∠E=90°,利用切線的判定方法判斷即可得證;
(2)在直角三角形PBD中,利用勾股定理求出PD的長,利用切線長定理得到PC=PB=6,由PD-PC即可求出DC的長;
(3)在直角三角形CDO中,設(shè)OC=r,則有DO=8-r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方程,求出方程的解即可得到結(jié)果.

解答 (1)證明:∵DE⊥PE,
∴∠E=90°,
∵∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB,即∠OBP=∠E=90°,
∵OB為圓的半徑,
∴PB為圓O的切線;
(2)解:在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,
根據(jù)勾股定理得:PD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10,
∵PD與PB都為圓的切線,
∴PC=PB=6,
∴DC=PD-PC=10-6=4;
(3)解:在Rt△CDO中,設(shè)OC=r,則有DO=8-r,
根據(jù)勾股定理得:(8-r)2=r2+42
解得:r=3,
則圓的半徑為3.

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定與性質(zhì),勾股定理,熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

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