Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，連接ED并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：AE=AF；

（2）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）8．

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．

（1）連接OD，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵直線BC為⊙O的切線，

∴OD⊥BC．

∴∠ODB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF；

（2）連接AD，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵AE=AF，

∴DF=DE=3，

∵∠ACB=90°，

∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE，

在Rt△ADF中，=sin∠DAF=sin∠BDE=，

∴AF=3DF=9，

在Rt△CDF中，=sin∠CDF=sin∠BDE=，

∴CF=DF=1，

∴AC=AF﹣CF=8．