Question

【題目】正方形中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，一條直角邊與邊交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合），另一條直角邊與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

如圖①，求證：；

如圖②，此直角三角板有一個(gè)角是，它的斜邊與邊交于，且點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，連接，求證：；

在的條件下，如果，那么點(diǎn)是否一定是邊的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)不一定是邊的中點(diǎn)．

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性質(zhì)∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結(jié)論；

（2）如圖2，連結(jié)AG，由且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結(jié)論；

（3）設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以求出x的值而得出結(jié)論．

（1）如圖①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF；

（2）如圖②，連接AG．

∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．

∵點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，∴∠EAG=∠NAG=45°．

在△AGE和AGF中，∵，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．

∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF．

∵GF=GD+DF，∴GF= BE+DG，∴EG=BE+DG；

（3）G不一定是邊CD的中點(diǎn)．理由如下：

設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x．在Rt△ECG中，由勾股定理，得：（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k，∴點(diǎn)G不一定是邊CD的中點(diǎn)．