Question

【題目】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，點(diǎn)E在⊙O上．

(1)求∠AED的度數(shù)；

(2)若⊙O的半徑為2，則的長為多少？

(3)連接OD，OE，當(dāng)∠DOE＝90°時(shí)，AE恰好是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值．

Answer 1

【答案】(1)∠AED＝120°；(2)π；(3)n＝12.

【解析】

（1）連接BD，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠BAD的度數(shù)，由AB=AD，可證得△ABD是等邊三角形，求得∠ABD=60°，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得∠E的度數(shù)；

（2）連接OA，由圓周角定理求出∠AOD的度數(shù)，由弧長公式即可得出的長；

（3）首先連接OA，由∠ABD=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOD的度數(shù)，繼而求得∠AOE的度數(shù)，即可得出結(jié)果．

(1)連接BD，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD＋∠C＝180°.

∵∠C＝120°，

∴∠BAD＝60°.

∵AB＝AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD＝60°.

∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠AED＋∠ABD＝180°，

∴∠AED＝120°.

(2)連接OA，OD，如圖2．

∵∠AOD＝2∠ABD＝120°，

∴的長＝.

(3)如圖所示．

∵∠ABD＝60°，

∴∠AOD＝2∠ABD＝120°，

∵∠DOE＝90°，

∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°，

∴n＝＝12.