Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC．

（1）如圖1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求證：CD=BE；

（2）如圖2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的長；

（3）如圖3，在△ADE中，當(dāng)BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB時，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）CD2=BD2+4AH2．證明見解析.

【解析】(1)、根據(jù)∠DAE=∠BAC得出∠DAC=∠BAE，結(jié)合已知條件得出△ACD和△ABE全等，從而得出答案；(2)、連接BE，根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及∠DAE=60°得出△ADE是等邊三角形，根據(jù)△ABE和△ACD全等得出答案；(3)、過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，則四邊形ABFE是平行四邊形，設(shè)∠AEF=x，∠AED=y，則∠FED=x+y，然后證明△ACD和△EFD全等，得出CD=DF，然后根據(jù)BD2+BF2=DF2得出答案．

(1)、如圖1，證明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，

即∠DAC=∠BAE．∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD=BE；

(2)、連接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，

∴∠CDA=∠ADE=×60°=30°，∵△ABE≌△ACD，

∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，∴BE⊥DE，DE=AD=3， ∴BD=5；

(3)、如圖，過B作BF⊥BD，且BF=AE，連接DF，則四邊形ABFE是平行四邊形，

∴AB=EF，設(shè)∠AEF=x，∠AED=y，則∠FED=x+y，

∠BAE=180°﹣x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°﹣2y，

∠CAD=360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD=360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y=x+y，

∴∠FED=∠CAD，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD=DF，

而BD2+BF2=DF2， ∴CD2=BD2+4AH2．