Question

6、己知方程x²-x-1=0的根是方程x⁶-px²+q=0的根，則p=

8

，q=

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)韋達定理求得設方程x²-x-1=0的二根分別為x₁、x₂，由韋達定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1；然后將x₁、x₂分別代入方程x⁶-px²+q=0列出方程組，再通過解方程組求得pq的值．

解答：解：設方程x²-x-1=0的二根分別為x₁、x₂，由韋達定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，則
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-1+2=3，
（x₁²）²+（x₂²）²=（x₁²+x₂²）²-2x₁²•x₂²=7．
將x₁、x₂分別代入方程x⁶-px²+q=0，得
x_₁⁶-px_₁²+q=0…①
x_₂⁶-px_₂²+q=0…②
①-②，得
（x_₁⁶-x_₂⁶）-p（x_₁²-x_₂²）=0，
【（x_₁²）³-（x_₂²）³】-p（x_₁²-x_₂²）=0，
（x_₁²-x_₂²）【（x₁²）²+（x_₂²）²+x_₁²•x_₂²】-p（x_₁²-x_₂²）=0，
由于x_₁≠x_₂，則x_₁²-x_₂²≠0，所以化簡，得
【（x_₁²）²+（x_₂²）²+x_₁²•x_₂²】-p=0，
則p=（x_₁²）²+（x_₂²）²+（x_₁•x_₂）²=7+（-1）²=8，
①+②，得
（x_₁6+x_₂6）-8（x_₁²+x_₂²）+2q=0，
【（x₁²）³+（x₂²）³】-24+2q=0，
∴（x_₁²+x_₂²）【（x_₁²）²+（x_₂²）²-x_₁²•x_₂²】-24+2q=0，
∴3【（x_₁²）²+（x_₂²）²-（x_₁•x_₂）²】-24+2q=0，
∴3（7-1）-24+2q=0，解得
q=3；
綜上所述，p=8，q=3．
故答案是：8、3．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．