Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M為x軸正半軸上的一點，⊙M與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，若A（-1，0），C點的坐標(biāo)為．

（1）求M點的坐標(biāo)；
（2）如圖，P為上的一個動點，CQ平分∠PCD．當(dāng)P點運(yùn)動時，線段AQ的長度是否改變？若不變，請求其值；若改變，請求出其變化范圍；

（3）如圖，以A為圓心AC為半徑作⊙A，P為⊙A上不同于C、D的一個動點，直線PC交⊙M于點Q，K為PQ的中點，當(dāng)P點運(yùn)動時，現(xiàn)給出兩個結(jié)論：①的值不變；②線段OK的長度不變．其中有且只有一個結(jié)論正確，選擇正確的結(jié)論證明并求其值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接MC，在Rt△COM中，運(yùn)用勾股定理可將⊙M的半徑求出，已知點A的坐標(biāo)，進(jìn)而可將圓心M的坐標(biāo)求出；
（2）作輔助線，連接AC，根據(jù)圓周角推論，等弧所對的圓周角相等，可得：∠ACD=∠P，又CQ平分∠OCP，可得：∠PCQ=∠OCQ，故：∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P，即∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2為定值；
（3）線段OK的長度不變，作輔助線，連接PD、QD、KD，可得：⊙A、⊙M為等圓，=，∠DPQ=∠DQP，△DPQ為等腰三角形，又K為PQ的中點，可得：DK⊥PQ，故在Rt△DKC中，OK為斜邊的中線．
解答：解：（1）連接MC，設(shè)⊙M的半徑為R
∵A（-1，0），C（0，），OC²+OM²=MC²
∴
解得R=2．
∴M點的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）AQ不變，AQ=AC=2．
連接AC，∵∠ACD=∠P
又∵CQ平分∠OCP
∴∠PCQ=∠OCQ
∴∠ACD+∠OCQ=∠PCQ+∠P
即：∠ACQ=∠AQC
∴AQ=AC=2．

（3）OK不變，OK=．
連接PD、QD、KD，
∵AC==2
∴⊙A的半徑為2
∵⊙A的半徑為2，⊙M的半徑為2
∴⊙A、⊙M為等圓
∴
∴∠DPQ=∠DQP
∴DQ=DP
∵K為PQ的中點
∴DK⊥PQ
∵OC=OD
∴=OC=．
點評：本題考查垂徑定理的應(yīng)用．解此類問題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．