Question

【題目】如圖，正方形ABCE的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且△CMN的周長(zhǎng)為2，則△MAN的面積的最小值為（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：延長(zhǎng)CB至L，使BL=DN， 則Rt△ABL≌Rt△AND，

故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
設(shè)CM=x，CN=y，MN=z x2+y2=z2 ，
∵x+y+z=2， 則x=2-y-z
∴（2-y-z）2+y2=z2 ，
整理得2y2+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）2-32（1-z）≥0，
即（z+2+2 ）（z+2-2 ）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2 -2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2- 時(shí)等號(hào)成立 此時(shí)S△AMN=S△AML= MLAB= z
因此，當(dāng)z=2 -2，x=y=2- 時(shí)，S△AMN取到最小值為 -1．
所以答案是：A．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．