Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=，tan∠AOC=．

（1）求a，k的值及點B的坐標(biāo)；

（2）觀察圖象，請直接寫出不等式ax﹣1≥的解集；

（3）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a= ,k=3, B(-,-2) (2) ﹣≤x＜0或x≥3；(3) （0，）或（0，0）

【解析】

1)過A作AE⊥x軸,交x軸于點E,在Rt△AOE中,根據(jù)tan∠AOC的值,設(shè)AE=x,得到OE=3x,再由OA的長,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出A坐標(biāo),將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出a的值,代入反比例解析式求出k的值,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo);

(2)由A與B交點橫坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)圖象確定出所求不等式的解集即可;

(3)顯然P與O重合時,滿足△PDC與△ODC相似;當(dāng)PC⊥CD,即∠PCD=時,滿足三角形PDC與三角形CDO相等,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等得到三角形PCO與三角形CDO相似,由相 似得比例,根據(jù)OD,OC的長求出OP的長,即可確定出P的坐標(biāo).

解：（1）

過A作AE⊥x軸，交x軸于點E，

在Rt△AOE中，OA=，tan∠AOC=，

設(shè)AE=x，則OE=3x，

根據(jù)勾股定理得：OA2=OE2+AE2，即10=9x2+x2，

解得：x=1或x=﹣1（舍去），

∴OE=3，AE=1，即A（3，1），

將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax﹣1中，得：1=3a﹣1，即a=，

將A坐標(biāo)代入反比例解析式得：1=，即k=3，

聯(lián)立一次函數(shù)與反比例解析式得：，

消去y得： x﹣1=，

解得：x=﹣或x=3，

將x=﹣代入得：y=﹣1﹣1=﹣2，即B（﹣，﹣2）；

（2）由A（3，1），B（﹣，﹣2），

根據(jù)圖象得：不等式x﹣1≥的解集為﹣≤x＜0或x≥3；

（3）顯然P與O重合時，△PDC∽△ODC；

當(dāng)PC⊥CD，即∠PCD=90°時，∠PCO+∠DCO=90°，

∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，

∴△PDC∽△CDO，

∵∠PCO+∠CPO=90°，

∴∠DCO=∠CPO，

∵∠POC=∠COD=90°，

∴△PCO∽△CDO，

∴=，

對于一次函數(shù)解析式y=x﹣1，令x=0，得到y=﹣1；令y=0，得到x=，

∴C（，0），D（0，﹣1），即OC=，OD=1，

∴=，即OP=，

此時P坐標(biāo)為（0，），

綜上，滿足題意P的坐標(biāo)為（0，）或（0，0）．