Question

如圖1，已知：拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)E，A（-1，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在對(duì)稱軸上找點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到A、C兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）分別根據(jù)若AB∥CP，若AC∥CP，若BC∥AP得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可得出答案；
（3）利用相似三角形的判定，首先得出△BEQ∽△BOC，即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（-1，0），對(duì)稱軸x=1，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），將A，B代入二次函數(shù)解析式得：
∴

9a+3b-3=0 a-b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴y=x²-2x-3；

（2）有三種情況：
①若AB∥CP，如圖1，
∵y=x²-2x-3與y軸交于點(diǎn)C，∴C（0，-3），
∴PE=OC=3，
∵AB≠CP，
∴P（1，-3）符合題意；
②若AC∥BP，如圖2，
則∠CAO=∠EBP，
∵∠AOC=∠BEP=90°，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△BEP，
∴

PE

OC

=

BE

OA

，
∴

PE

3

=

2

1

，
解得：PE=6，
∵

AC

BP

=

OA

EB

=

1

2

，
∴AC≠BP，∴P（1，6）符合題意；
③若BC∥AP，如圖3，
∵OB=OC=3，
∴∠PAE=∠CBO=45°，
∴PE=AE=2，
又∵AP≠BC，
∴P（1，2）符合題意，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）或（1，-3）或（1，2）；

（3）∵A，B關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，
∴BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q，如圖4，
∵QE∥y軸，
∴∠BOC=∠BEQ=90°，
∵∠ABC是公共角，
∴△BEQ∽△BOC，
∴

EQ

OC

=

BE

BO

，
即：

EQ

3

=

2

3

，
∴EQ=2，
∴Q（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及與相似三角形的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論是二次函數(shù)中的考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．