Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線在軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN//軸交直線BC于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取最大值時(shí)，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此即可得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；

（3）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n），結(jié)合（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入拋物線中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把點(diǎn)點(diǎn)B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．∵M(jìn)N∥y軸，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，﹣m+3）．∵拋物線的解析式為=，∴拋物線的對稱軸為x=2，∴點(diǎn)（1，0）在拋物線的圖象上，∴1＜m＜3．∵線段MN=﹣m+3﹣（）==，∴當(dāng)m=時(shí)，線段MN取最大值，最大值為；

（3）假設(shè)存在．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）．

當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，），∴PB==，PN=，BN==．

△PBN為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)PB=PN時(shí)，即=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）；

②當(dāng)PB=BN時(shí)，即=，解得：n=±，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）或（2，）；

③當(dāng)PN=BN時(shí)，即=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）或（2，）．

綜上可知：在拋物線的對稱軸l上存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）、（2，）、（2，）、（2，）或（2，）．