Question

王華在學習相似三角形時，在北京市義務教育教科書九年級上冊第31頁遇到這樣一道題，如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是　　　　　　，或　　　　　　．

請回答：

（1）王華補充的條件是　　　　　　，或　　　　　　．

（2）請你參考上面的圖形和結論，探究，解答下面的問題：

如圖2，在△ABC中，∠A=30°，AC²=AB²+AB•BC．求∠C的度數(shù)．

　

Answer 1

【考點】相似三角形的判定；勾股定理．

【分析】（1）由∠A=∠A，當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或時，△ACP∽△ABC；

（2）延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，由已知條件得出證出，由∠A=∠A，證出△ACB∽△ADC，得出對應角相等∠ACB=∠D，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，得出∠ACB=50°即可．

【解答】解：∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC²=AP•AB時，△ACP∽△ABC；

故答案為：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；

（1）王華補充的條件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC²=AP•AB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC²=AP•AB時，△ACP∽△ABC；

故答案為：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC²=AP•AB；

（2）延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，如圖所示：

∵AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，

∴，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；本題中（2）有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形相似才能得出結果．