Question

【題目】(11分)如圖1，點(diǎn)A(a，b)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A到坐標(biāo)軸的垂線段AB，AC與坐標(biāo)軸圍成矩形OBAC，當(dāng)這個(gè)矩形的一組鄰邊長(zhǎng)的和與積相等時(shí)，點(diǎn)A稱作“垂點(diǎn)”，矩形稱作“垂點(diǎn)矩形”.

(1)在點(diǎn)P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂點(diǎn)”的點(diǎn)為 ；

(2)點(diǎn)M(－4，m)是第三象限的“垂點(diǎn)”，直接寫出m的值 ；

(3)如果“垂點(diǎn)矩形”的面積是，且“垂點(diǎn)”位于第二象限，寫出滿足條件的“垂點(diǎn)”的坐標(biāo) ；

(4)如圖2，平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O是正方形DEFG的對(duì)角線的交點(diǎn)，當(dāng)正方形DEFG的邊上存在“垂點(diǎn)”時(shí)，GE的最小值為8.

Answer 1

【答案】（1）Q；（2）－；（3）（－4，），（－，4）；（4）8

【解析】

（1）根據(jù)“垂點(diǎn)”的意義直接判斷即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)“垂點(diǎn)”的意義建立方程即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)“垂點(diǎn)”的意義和矩形的面積建立方程即可得出結(jié)論；

（4）先確定出直線EF的解析式，利用“垂點(diǎn)”的意義建立方程，利用非負(fù)性即可確定出m的范圍，即可得出結(jié)論．

（1）∵P（1，2），∴1+2=3，1×2=2，

∵2≠3，∴點(diǎn)P不是“垂點(diǎn)”，

∵Q（2，﹣2），∴2+2=4，2×2=4，∴Q是“垂點(diǎn)”．

∵N（，﹣1），∴+1=×1=，

∵，∴點(diǎn)N不是“垂點(diǎn)”，

故答案為：Q；

（2）∵點(diǎn) M（﹣4，m）是第三象限的“垂點(diǎn)”，∴4+（﹣m）=4×（﹣m），∴m=﹣，

故答案為：﹣；

（3）設(shè)“垂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b），∴﹣a+b=﹣ab，

∵“垂點(diǎn)矩形”的面積為，∴﹣ab=．

即：﹣a+b=﹣ab=，

解得：a=﹣4，b=或a=﹣，b=4，∴“垂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（﹣4，）或（﹣，4），

故答案為：（﹣4，）或（﹣，4），．

（4）設(shè)點(diǎn)E（m，0）（m＞0），

∵四邊形EFGH是正方形，∴F（0，m），y=﹣x+m．設(shè)邊EF上的“垂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，﹣a+m），∴a+（﹣a+m）=a（﹣a+m）

∴a2﹣am=﹣m，∴（a﹣）2=≥0，∴m2﹣4m=m（m﹣4）≥0，

∵m＞0，∴m﹣4≥0，∴m≥4，∴m的最小值為4，∴EG的最小值為2m=8，

故答案為：8．