Question

（2011•鎮(zhèn)海區(qū)模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于點(diǎn)E，連接CO并延長交BD于點(diǎn)F，若CF⊥BD，AB=8，
（1）求證：BD=CD；
（2）求弦CD的長；
（3）求圖中由線段CD、BD和弧BC所圍成的陰影部分圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE，BD=2BF，然后利用角角邊證明△OEC與△OFB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=BF，從而得解；
（2）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得∠C=30°，然后利用余弦定義求出CE的長度，再根據(jù)垂徑定理即可的解；
（3）連接BC，根據(jù)（2）中結(jié)論可證△BCD是等邊三角形，則陰影部分的面積=等邊三角形BCD的面積+扇形OBC的面積-△OBC的面積，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）證明：∵直徑AB⊥CD，OF⊥BD，
∴CD=2CE，BD=2BF，且∠CEO=∠BFO=90°，
在△OEC與△OFB中，

∠CEO=∠BFO=90° ∠COE=∠BOF(對(duì)頂角相等) CO=BO

，
∴△OEC≌△OFB（AAS），
∴CE=BF，
∴BD=CD；

（2）在Rt△CFD中，DF=

1

2

BD=

1

2

CD，
∴∠C=30°，
∴CE=OC•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
∴CD=2CE=2×2

3

=4

3

；

（3）如圖，連接BC，
∵∠OCE=30°，CF⊥BD，
∴∠D=60°，∠BOC=120°，
又∵CD=BD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴S_陰影=S_△BCD+S_扇形OBC-S_△OBC，
=

1

2

×（4

3

）²•sin60°+

120

360

×π•4²-

1

2

OB•CE
=

1

2

×48×

3

2

+

16

3

π-

1

2

×4×2

3

=12

3

+

16

3

π-4

3

=8

3

+

16

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及扇形的面積公式，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，難度不大，（1）中證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．