已知:拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點,點B在x軸的正半軸上,與y軸交于點C(0,-3),拋物線頂點為M,連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q,且點Q到x軸的距離為6.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直,求出點D的坐標.
分析:(1)根據(jù)直線A、C的解析式,即可求出直線AC的解析式;已知直線AC上點Q的縱坐標為-6,根據(jù)直線AC的解析式即可求出點Q的橫坐標即拋物線的對稱軸方程;將A、C的坐標代入拋物線的解析式中,聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可求出該拋物線的解析式;
(2)若直線DC與AC垂直,則兩條直線的斜率的乘積為-1,由此可確定直線CD的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出D點的坐標.
解答:解:(1)設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b(k≠0),則有:
-k+b=0
b=-3

解得
k=-3
b=-3
;
∴直線AC的解析式為:y=-3x-3;
當y=-6時,-3x-3=-6,x=1;
∴Q(1,-6),即拋物線的對稱軸為x=1;
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x-1)2+h,依題意,有:
4a+h=0
a+b=-3
,
解得
a=1
h=-4

∴拋物線的解析式為:y=(x-1)2-4;

(2)由(1)知:直線AC的解析式為:y=-3x-3,若直線CD與AC垂直,
則直線CD的解析式為:y=
1
3
x-3,聯(lián)立拋物線的解析式有:
y=(x-1)2-4
y=
1
3
x-3

解得
x=0
y=-3
,
x=
7
3
y=-
20
9

D(
7
3
,-
20
9
)
點評:此題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識,需要識記的內(nèi)容有:如果兩條直線互相垂直,那么它們的斜率的乘積為-1.
練習冊系列答案
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如圖1,已知:拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,經(jīng)過B,C兩點的直線是,連結(jié)AC.
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(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點D,E,F(xiàn),G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點的坐標;若不能,請說明理由.
[拋物線的頂點坐標是]

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于
點A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2
【小題1】求A、B兩點的坐標(用a表示);
【小題2】設(shè)拋物線的頂點為C,求△ABC的面積;
【小題3】若a是整數(shù),P為線段AB上的一個動點(P點與A、B兩點不重合),
在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN,記線段MN的中點為Q,求拋物線的
解析式及線段PQ的長的取值范圍.

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