Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(1，4)，拋物線與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，與x軸交于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3.(2)( ,0)

【解析】試題分析：

（1）由題意可設(shè)拋物線解析式為“頂點(diǎn)式”，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得解析式；

（2）由題意作出點(diǎn)B關(guān)于軸的對稱軸點(diǎn)E，連接AE交軸于點(diǎn)P，P為所求的點(diǎn)，由A、E的坐標(biāo)可求得直線AE的解析式，再由AE的解析式就可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：

(1)∵拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），

∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋4.

∵拋物線過點(diǎn)B(0，3)，

∴3＝a(0－1)2＋4.

解得a＝－1.

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.

(2)作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E(0，－3)，

連接AE交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．

設(shè)AE所在直線的表達(dá)式為y＝kx＋b，

分別代入A，E坐標(biāo)，得，解得，

∴y＝7x－3.

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，0)．