Question

【題目】定義：如果函數(shù)C：（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m，n）、（-m，-n），那么我們稱函數(shù)C為對稱點(diǎn)函數(shù)，這對點(diǎn)叫做對稱點(diǎn)函數(shù)的友好點(diǎn)．

例如：函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，2）、（-1，-2），則函數(shù)是對稱點(diǎn)函數(shù)，點(diǎn)（1，2）、（-1，-2）叫做對稱點(diǎn)函數(shù)的友好點(diǎn)．

（1）填空：對稱點(diǎn)函數(shù)一個(gè)友好點(diǎn)是（3，3），則b= ，c= ；

（2）對稱點(diǎn)函數(shù)一個(gè)友好點(diǎn)是（2b，n），當(dāng)2b≤x≤2時(shí)，此函數(shù)的最大值為，最小值為，且=4，求b的值；

（3）對稱點(diǎn)函數(shù)（）的友好點(diǎn)是M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)A．把線段AM繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到它的對應(yīng)線段A′M′．若線段A′M′與該函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b=1，c=9；（2）b=0或b=或b=；（3） 或

【解析】

（1）由題可知函數(shù)圖象過點(diǎn)（3，3），（-3，-3），代入即可求出b，c的值；

（2）代入函數(shù)的友好點(diǎn)，求出函數(shù)解析式y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)分三種情況分析討論；

（3）由 推出 ，再根據(jù)“友好點(diǎn)”是M（2，2）N（-2，-2）旋轉(zhuǎn)后M′（2，-2） A′（-4a，0），將（-4a，0）代 得出，根據(jù)圖象即可得出結(jié)論．

解：（1）由題可知函數(shù)圖象過點(diǎn)（3，3），（-3，-3），代入函數(shù)（），得

解得：b=1，c=9；

（2）由題意得另一個(gè)友好數(shù)為（-2b，-n）

∴-n=4b2-4b2+c

∴c=-n

∴y=x2+2bx-n

把（2b，n）代入y=x2+2bx-n

n=4b2+4b2-n

∴n=4b2

∴y=x2+2bx-4b2=（x+b）2-5b2

當(dāng)-b<2b即b>0時(shí)

∵拋物線開口向上

∴在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大

∴當(dāng)x=2b時(shí)，y1=4b2

當(dāng)x=2時(shí)，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4-4b2=4

∴-8b2+4b=0

∴b1=0（舍）b2=

當(dāng)2<-b，即b<-2時(shí)

在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小

∴當(dāng)x=2b時(shí)，y1=4b2

當(dāng)x=2時(shí)，y2=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴4b2+4b2-4b-4=4

∴8b2-4b-8=0

∴2b2-b-2=0

b=（舍）

當(dāng)2b≤-b≤2，即-2≤b≤0時(shí)y2=-5b2

當(dāng)x=2時(shí)，y1=-4b2+4b+4

∵y1-y2=4

∴-4b2+4b+4+5b2=4

∴b2+4b=0

∴b1=0，b2=-4（舍）

當(dāng)x=2b時(shí)，y1=4b2

∵y1-y2=4

∴9b2=4

∴b=（舍）b=

∴b=0或b=或b= ；

（3） 推出

“友好點(diǎn)”是M（2，2）N（-2，-2）旋轉(zhuǎn)后M’（2，-2） A’（-4a，0）

將（-4a，0）代入

當(dāng)a>0時(shí) 當(dāng)拋物線經(jīng)過A′后有兩個(gè)交點(diǎn) ∴

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)拋物線經(jīng)過A′點(diǎn)以后，開始于拋物線有一個(gè)交點(diǎn) ∴

綜上：或．