Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對稱軸為直線x=1的拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點B的坐標(biāo)為（﹣1，0）

(1)求拋物線的解析式并作出圖象；

(2)點D的坐標(biāo)為（0，1），點P是拋物線上的動點，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2+2x+3，畫圖象見解析； (2)點P的坐標(biāo)為（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）求出A、B坐標(biāo)，利用待定點C的坐標(biāo)為（0，3），點D（1，0），
（2）由點C的坐標(biāo)為（0，3），點D（1，0），可知滿足條件的點P的縱坐標(biāo)為2，解方程-x2+2x+3=2即可得到點P的橫坐標(biāo)，由此即可解決問題．

解：（1）

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，

∴由題意可求點A的坐標(biāo)為（3，0）．

將點A（3，0）和點B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3．

∴拋物線和y軸交點坐標(biāo)為（0，3），

函數(shù)圖象如圖所示：

（2）如圖，

∵點C的坐標(biāo)為（0，3），點D（1，0），

∴滿足條件的點P的縱坐標(biāo)為2．

∴﹣x2+2x+3=2．

解得 x1=1+，x2=1﹣ ，

∴點P的坐標(biāo)為（1+，2）或（1﹣，2）．