Question

【題目】定義：在同一平面內(nèi)，如果矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到⊙M上一點(diǎn)的距離相等，那么稱這個(gè)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y= x﹣3交x軸于點(diǎn)M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿直線運(yùn)動(dòng)（BD在直線l上），BD=2，AB∥y軸，當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）

A.（ ﹣ ，﹣ ）
B.（ ﹣ ，﹣ ）
C.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ，﹣ ）
D.（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖所示，矩形在這兩個(gè)位置時(shí)就是⊙M的“伴侶矩形”，

根據(jù)直線l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，

由勾股定理得：MN= =2 ，

①矩形在x軸下方時(shí)，分別過A、D作兩軸的垂線AH、DG，

由cos∠ABD=cos∠ONM= = ，

∴ = ，

∴AB= ，則AD=1，

∵DG∥y軸，

∴△MDG∽△MNO，

∴ = ，

∴ = ，

∴DG= ，

∴CG= + = ，

同理可得： = ，

∴ = ，

∴DH= ﹣ ，

∴C（ ﹣ ，﹣ ）；

②矩形在x軸上方時(shí)，同理可得：C（ + ， ）；

綜上所述，C（ ﹣ ，﹣ ）或（ + ， ）；．

所以答案是：C．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．