Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．

（1）求拋物線的解析式a，b，c；

（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在求出點M坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4；

（2）線段PQ的最大值為；

（3）符合要求的點M的坐標為（，9）和（，﹣11）．

【解析】試題分析：（1）如圖1，易證BC=AC，從而得到點B的坐標，然后運用待定系數法求出二次函數的解析式；

（2）如圖2，運用待定系數法求出直線AB的解析式．設點P的橫坐標為t，從而可以用t的代數式表示出PQ的長，然后利用二次函數的最值性質就可解決問題；

（3）由于AB為直角邊，分別以∠BAM=90°（如圖3）和∠ABM=90°（如圖4）進行討論，通過三角形相似建立等量關系，就可以求出點M的坐標．

試題解析：（1）如圖1，

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴AC=5．

∵BC∥AO，AB平分∠CAO，

∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．

∴BC=AC．

∴BC=5．

∵BC∥AO，BC=5，OC=4，

∴點B的坐標為（5，4）．

∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，

∴

解得：

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4；

（2）如圖2，

設直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直線AB上，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為y=x+．

設點P的橫坐標為t（﹣3≤t≤5），則點Q的橫坐標也為t．

∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．

∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）

=﹣t2+t+4﹣t﹣

=﹣t2++

=﹣（t2﹣2t﹣15）

=﹣ [（t﹣1）2﹣16]

=﹣（t﹣1）2+．

∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，

∴當t=1時，PQ取到最大值，最大值為．

∴線段PQ的最大值為；

（3）①當∠BAM=90°時，如圖3所示．

拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣=．

∴xH=xG=xM=．

∴yG=×+=．

∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，

∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．

∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．

∴．

∴．

解得：MH=11．

∴點M的坐標為（，﹣11）．

②當∠ABM=90°時，如圖4所示．

∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，

∴BG=．

同理：AG=．

∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．

∴．

∴．

解得：MG=．

∴MH=MG+GH=+=9．

∴點M的坐標為（，9）．

綜上所述：符合要求的點M的坐標為（，9）和（，﹣11）．