Question

如圖1，已知拋物線y=-x²+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)（不與B，C重合），經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF面積取得最小值時，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=-x²+b x+c求出即可；
（2）首先設(shè)P點(diǎn)（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）利用S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC=S_△BDP+S_{四邊形PDOC}-

1

2

×3×3進(jìn)而求出即可；
（3）根據(jù)圓周角定理得出OE=OF，∠EOF=90°，利用S△OEF=

1

2

OE•OF=OE²，進(jìn)而分析得出OE最小時，△OEF面積取得最小值，進(jìn)而得出E點(diǎn)在BC的中點(diǎn)時，即可得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，
∴

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=3

；

（2）存在．
理由如下：如圖1，
設(shè)P點(diǎn)（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC
=S_△BDP+S_{四邊形PDOC}-

1

2

×3×3
=

1

2

（3+x）（-x²-2x+3）+

1

2

（-x²-2x+3）×（-x）-

9

2

=-

3

2

x2-

9

2

x
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

27

8

，
當(dāng)x=-

3

2

時，∴S_△BPC最大=

27

8

，
當(dāng)x=-

3

2

時，-x²-2x+3=

15

4

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（-

3

2

，

15

4

）；

（3）如圖2，∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，而∠OEF=∠OBF=45°，∠OFE=∠OBE=45°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF，∠EOF=90°，
∴S△OEF=

1

2

OE•OF=

1

2

OE²
∴當(dāng)OE最小時，△OEF面積取得最小值，
∵點(diǎn)E在線段BC上，∴當(dāng)OE⊥BC時，OE最小，
此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，∴E（-

3

2

，

3

2

）．
另：可設(shè)E（x，x+3），OE²=x²+（x+3）²=2x²+6x+9
∴S△OEF=

1

2

OE•OF=x2+3x+

9

2

=(x+

3

2

)2+

9

4

∴當(dāng)x=-

3

2

時，S_△OEF取最小值，此時x+3=-

3

2

+3=

3

2

，
∴E（-

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)最值問題和圖形面積求法等知識，利用圓周角定理得出EO=FO進(jìn)而分析得出OE最小時，△OEF面積取得最小值是解題關(guān)鍵．