Question

如圖，矩形OABC的長OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC，可得下列結論：①∠PCB=30°；②點P的坐標是（

3

2

，

3

2

）；③若P、C兩點在拋物線y=-

4

3

x2+bx+c上，則b的值是-

3

，c的值是1；④在③中的拋物線CP段（不包括C、P兩點）上，存在一點Q，使四邊形QCAP的面積最大，最大值為

9 3

16

．其中正確的有（　�。�

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根據折疊的性質知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
①∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°，故①正確；
②過P作PD⊥OA于D；
Rt△PAD中，∠PAD=60°，AP=

3

；
∴OD=AD=

3

2

，PD=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

），故②正確；
③將P、C代入拋物線的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 c=1

，
解得

b= 3 c=1

；
故③錯誤；
④過Q作QM∥y軸，交CP于M；
由③知y=-

4

3

x²+

3

x+1，
由P（

3

2

，

3

2

），C（0，1）易求得直線PC：y=

3

3

x+1；
設M（a，

3

3

a+1），
則Q（a，-

4

3

a²+

3

a+1），則：
QM=-

4

3

a²+

3

a+1-（

3

3

a+1）=-

4

3

a²+

2 3

3

a，
故S_△QPC=

1

2

QM•|x_P|=

1

2

×（-

4

3

a²+

2 3

3

a）×

3

2

=-

3

3

a2+

1

2

a，
由于S_△APC=S_△AOC=

3

2

，
故四邊形QCAP的面積S=S_△QPC+S_△APC=-

3

3

a²+

1

2

a+

3

2

，
則Smax=

4×(- 3 3 )× 3 2 - 1 4

4×(- 3 3 )

=

9 3

16

；
故④正確；
所以正確的結論為①②④．
故選B．