Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（Ⅰ）若設(shè)AP＝x，則PC＝　 　，QC＝　 　；（用含x的代數(shù)式表示）

（Ⅱ）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（Ⅲ）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6﹣x，6+x；（Ⅱ）2；（Ⅲ）線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.DE=3

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AB＝BC＝AC＝6，然后根據(jù)題意解答即可;

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再利用直角三角形30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半進(jìn)行解答即可.

(3) 作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF;根據(jù)題意和等邊三角形的性質(zhì)證明△APE≌△BQF（AAS），進(jìn)一步說(shuō)明四邊形PEQF是平行四邊形，最后說(shuō)明DE＝AB，即可說(shuō)明DE的長(zhǎng)度不變.

解：（Ⅰ）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝6，

設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，

∴QC＝QB+BC＝6+x，

故答案為：6﹣x，6+x；

（Ⅱ）

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，

∴AP＝2；

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵點(diǎn)P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴在△APE和△BQF中，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE＝EF，

∵EB+AE＝BE+BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，

∴DE＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．