Question

【題目】拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2）．

①過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時(shí)，的值最小，求出這個(gè)最小值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E，P的坐標(biāo)；

②在滿(mǎn)足①的條件下，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1時(shí)，有最小值1，此時(shí)OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．

【解析】

試題（1）在拋物線的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到結(jié)果；

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過(guò)△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得結(jié)果；

②存在，求得拋物線的對(duì)稱(chēng)方程為x=3，設(shè)F（3，m），當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，②當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程即可求得結(jié)果．

試題解析：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在拋物線的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；

（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，

∴===，∵0＜t＜2，始終為正數(shù)，且t=1時(shí)，有最大值1，∴t=1時(shí)，有最小值1，即t=1時(shí)，有最小值1，此時(shí)OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=3，設(shè)F（3，m），∴，=，=，

當(dāng)△EFP為直角三角形時(shí)，

①當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，，即，解得：m=2，

②當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，，即，解得；m=0或m=1，不合題意舍去，∴當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，這種情況不存在，

③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，，即，解得：m=7，

綜上所述，F（3，2），（3，7）．