Question

如圖1所示：等邊△ABC中，線段AD為其內角角平分線，過D點的直線B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延長線于B₁．
（1）請你探究：，是否都成立？
（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．
（3）如圖2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB=，E為AB上一點且AE=5，CE交其內角角平分線AD于F．試求的值．

Answer 1

（1）成立    （2）成立    （3）

試題分析：（1）兩個等式都成立．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴=；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴=；
（2）結論仍然成立，理由如下：
如右圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴=
而BE=AB，
∴=；
（3）如圖，連DE，
∵AD為△ABC的內角角平分線
∴===，==，
又∵==，
∴=，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴==．


點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線被其它兩邊所截，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質、含30°的直角三角形三邊的關系以及角平分線的性質．