Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，且AE＝BC，DF⊥AE，垂足是F，連接DE．

求證：（1）DF＝AB；

（2）DE是∠FDC的平分線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)得出AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，得出∠DAF＝∠AEB，證出AD＝AE，由AAS證明△ADF≌△EAB，即可得出結(jié)論；

（2）由HL證明Rt△DEF≌Rt△DEC，得出對(duì)應(yīng)角相等∠EDF＝∠EDC，即可得出結(jié)論．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，

∴∠DAF＝∠AEB，

∵AE＝BC，

∴AD＝AE，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD＝∠DFE＝90°，

∴∠AFD＝∠B，

在△ADF和△EAB中，

∴△ADF≌△EAB（AAS），

∴DF＝AB；

（2）∵DF＝AB，AB＝DC，

∴DF＝DC，

在Rt△DEF和Rt△DEC中，

∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），

∴∠EDF＝∠EDC，

∴DE是∠FDC的平分線．